فعالیت ۱ ریاضی ششم
۱- ابتدا تقسیم‌بندی محور را کامل کنید، سپس پاسخ تقسیم‌های داده شده را پیدا کنید.
🔴 $\text{۴.۵} \div \text{۰.۲۵} = \mathbf{\text{...}}$
[محور از $\text{۰}$ تا $\text{۵}$ با گام‌های $\text{۰.۲۵}$ و $\text{۱}$ و $\text{۲}$ و $\text{۳}$ و $\text{۴}$ و $\text{۵}$ نشان داده شده است.]
🔴 $\text{۴۵} \div \text{۲.۵} = \mathbf{\text{...}}$
[محور از $\text{۰}$ تا $\text{۵۰}$ با گام‌های $\text{۲.۵}$ و $\text{۱۰}$ و $\text{۲۰}$ و $\text{۳۰}$ و $\text{۴۰}$ و $\text{۵۰}$ نشان داده شده است.]
🔴 $\text{۴۵۰} \div \text{۲۵} = \mathbf{\text{...}}$
[محور از $\text{۰}$ تا $\text{۵۰۰}$ با گام‌های $\text{۲۵}$ و $\text{۱۰۰}$ و $\text{۲۰۰}$ و $\text{۳۰۰}$ و $\text{۴۰۰}$ و $\text{۵۰۰}$ نشان داده شده است.]
$ ext{از مقایسه‌ی این تقسیم‌ها و پاسخ‌هایشان چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟}$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۵۶ ریاضی ششم
این فعالیت مهم، اصلی‌ترین قانون تقسیم اعداد اعشاری را معرفی می‌کند: **حفظ خارج قسمت** در صورت ضرب یا تقسیم همزمان مقسوم و مقسوم‌علیه در یک عدد ثابت.
### ۱. حل تقسیم‌ها با استفاده از محور
هر سه تقسیم، معادل یکدیگر هستند و باید خارج قسمت یکسانی داشته باشند.
* **🔴 $\mathbf{۴.۵ \div ۰.۲۵}$:** یعنی در $athbf{۴.۵}$ چند تا $athbf{۰.۲۵}$ (یک چهارم) وجود دارد؟
* $\text{۴.۵} \div \text{۰.۲۵} = \frac{۴.۵}{۰.۲۵} \times \frac{۱۰۰}{۱۰۰} = \frac{۴۵۰}{۲۵}$
* $\text{۴۵۰} \div \text{۲۵} = \mathbf{۱۸}$
* **🔴 $\mathbf{۴۵ \div ۲.۵}$:** یعنی در $athbf{۴۵}$ چند تا $athbf{۲.۵}$ وجود دارد؟
* $\frac{۴۵}{۲.۵} \times \frac{۱۰}{۱۰} = \frac{۴۵۰}{۲۵} = \mathbf{۱۸}$
* **🔴 $\mathbf{۴۵۰ \div ۲۵}$:** یعنی در $athbf{۴۵۰}$ چند تا $athbf{۲۵}$ وجود دارد؟
* $\text{۴۵۰} \div \text{۲۵} = \mathbf{۱۸}$
**پاسخ‌های تقسیم:** $athbf{۱۸}, \mathbf{۱۸}, \mathbf{۱۸}$
### ۲. نتیجه‌گیری از مقایسه تقسیم‌ها
**🔴 از مقایسه‌ی این تقسیم‌ها و پاسخ‌هایشان چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟**
**نتیجه:** هرگاه **مقسوم (عدد اول)** و **مقسوم‌علیه (عدد دوم)** یک تقسیم را در **یک عدد ثابت (مانند $\mathbf{۱۰}$ یا $\mathbf{۱۰۰}$ یا $\mathbf{۱۰۰۰}$)** ضرب کنیم، $athbf{\text{خارج قسمت}}$ تقسیم **تغییری نمی‌کند** (همان باقی می‌ماند).
* **توضیح:** در تقسیم اعشاری، ما از این قاعده برای تبدیل مقسوم‌علیه اعشاری به عدد صحیح استفاده می‌کنیم تا بتوانیم تقسیم را آسان‌تر انجام دهیم.
فعالیت ۲ ریاضی ششم
۲- حالا تقسیم‌های زیر را انجام دهید.
🔴 $\text{۷} \div \text{۳} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\text{۷۰} \div \text{۳۰} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\text{۷۰۰} \div \text{۳۰۰} = \mathbf{\text{...}}$
$ ext{مقسوم و مقسوم علیه هر بار در چه عددی ضرب شده‌اند؟}$
$ ext{خارج قسمت و باقی‌مانده چه تغییری کرده‌اند؟}$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۵۶ ریاضی ششم
در این فعالیت، تقسیم اعداد صحیح را بررسی می‌کنیم و تأثیر ضرب شدن مقسوم و مقسوم‌علیه در یک عدد ثابت را بر $athbf{\text{خارج قسمت}}$ و $athbf{\text{باقی‌مانده}}$ مشاهده می‌کنیم.
### ۱. انجام تقسیم‌ها
| تقسیم | خارج قسمت | باقی‌مانده |
|:---:|:---:|:---:|
| $\text{۷} \div \text{۳}$ | $\mathbf{۲}$ | $\mathbf{۱}$ $|
| $\text{۷۰} \div \text{۳۰}$ | $\mathbf{۲}$ | $\mathbf{۱۰}$ ($\text{۷۰} - \text{۶۰} = \text{۱۰}$) |
| $\text{۷۰۰} \div \text{۳۰۰}$ | $\mathbf{۲}$ | $\mathbf{۱۰۰}$ ($\text{۷۰۰} - \text{۶۰۰} = \text{۱۰۰}$) |
### ۲. بررسی تغییرات
**🔴 مقسوم و مقسوم علیه هر بار در چه عددی ضرب شده‌اند؟**
* از تقسیم اول به دوم: $\mathbf{۷}$ و $\mathbf{۳}$ هر دو در $\mathbf{۱۰}$ ضرب شده‌اند.
* از تقسیم دوم به سوم: $\mathbf{۷۰}$ و $\mathbf{۳۰}$ هر دو در $\mathbf{۱۰}$ ضرب شده‌اند (یا از اول به سوم در $\mathbf{۱۰۰}$).
**🔴 خارج قسمت و باقی‌مانده چه تغییری کرده‌اند؟**
* **خارج قسمت:** $athbf{\text{تغییری نکرده است}}$ (همیشه $athbf{۲}$ است).
* **باقی‌مانده:** باقی‌مانده به اندازه **همان عددی که مقسوم و مقسوم‌علیه در آن ضرب شده‌اند**، $athbf{\text{ضرب شده است}}$ ($athbf{۱} \rightarrow \mathbf{۱۰} \rightarrow \mathbf{۱۰۰}$).
---
فعالیت ۳ ریاضی ششم
۳- اگر مقسوم و مقسوم‌علیه را در عددی غیر از $\text{۱۰}$ یا $\text{۱۰۰}$ ضرب کنیم، آیا باز هم همان نتیجه‌های بالا به دست می‌آید؟ آزمایش کنید.
🔴 $\text{۴۵} \div \text{۹} = \mathbf{۵}$ ($ ext{باقی‌مانده } \mathbf{۰}$)
$$\text{۴۵} \times \mathbf{۵} = \mathbf{۲۲۵} \quad \text{۹} \times \mathbf{۵} = \mathbf{۴۵}$$
$$\mathbf{۲۲۵} \div \mathbf{۴۵} = \mathbf{\text{...}}$$
🔴 $\text{۷۷} \div \text{۲۱} = \mathbf{۳}$ ($ ext{باقی‌مانده } \mathbf{۱۴}$)
$$\text{۷۷} \times \mathbf{۷} = \mathbf{۵۳۹} \quad \text{۲۱} \times \mathbf{۷} = \mathbf{۱۴۷}$$
$$\mathbf{۵۳۹} \div \mathbf{۱۴۷} = \mathbf{\text{...}}$$
$ ext{از این فعالیت نتیجه می‌گیریم اگر مقسوم و مقسوم‌علیه را در یک عدد ضرب کنیم خارج قسمت } \mathbf{\text{...}} \text{ می‌شود و باقی‌مانده در آن عدد } \mathbf{\text{...}} \text{ نمی‌کند. (نمی‌شود)}$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۵۶ ریاضی ششم
در این فعالیت، قانون را با ضرب مقسوم و مقسوم‌علیه در اعداد دیگر (غیر از $\text{۱۰}$ و $\text{۱۰۰}$) آزمایش می‌کنیم تا ثابت شود این قانون برای **هر عدد ثابتی** صادق است.
### ۱. آزمایش اول ($athbf{۴۵ \div ۹}$)
* **تقسیم اصلی:** $\text{۴۵} \div \text{۹} = \mathbf{۵}$ (باقی‌مانده $athbf{۰}$)
* **تقسیم جدید (ضرب در $\mathbf{۵}$):** $\mathbf{۲۲۵} \div \mathbf{۴۵}$
$$\mathbf{۲۲۵} \div \mathbf{۴۵} = \mathbf{۵} \quad (\text{خارج قسمت})$$
**نتیجه:** خارج قسمت $athbf{۵}$ باقی ماند. باقی‌مانده $athbf{۰} \times \mathbf{۵} = \mathbf{۰}$ باقی ماند.
### ۲. آزمایش دوم ($athbf{۷۷ \div ۲۱}$)
* **تقسیم اصلی:** $\text{۷۷} \div \text{۲۱} = \mathbf{۳}$ (باقی‌مانده $athbf{۱۴}$)
* **تقسیم جدید (ضرب در $\mathbf{۷}$):** $\mathbf{۵۳۹} \div \mathbf{۱۴۷}$
$$\text{۵۳۹} \div \text{۱۴۷} = \mathbf{۳}$$
$$\text{۳} \times \text{۱۴۷} = \text{۴۴۱}$$
$$\text{۵۳۹} - \text{۴۴۱} = \mathbf{۹۸} \quad (\text{باقی‌مانده جدید})$$
**نتیجه:**
* خارج قسمت $athbf{۳}$ **باقی ماند**.
* باقی‌مانده $athbf{۹۸}$ است. باقی‌مانده اصلی $athbf{۱۴}$ بود. $athbf{۱۴} \times \mathbf{۷} = \mathbf{۹۸}$.
### ۳. نتیجه‌گیری کلی
**از این فعالیت نتیجه می‌گیریم اگر مقسوم و مقسوم‌علیه را در یک عدد ضرب کنیم، خارج قسمت $\mathbf{\text{تغییر نمی‌کند}}$ و باقی‌مانده در آن عدد $\mathbf{\text{ضرب}}$ می‌شود.**
---
فعالیت ۴ ریاضی ششم
۴- برای اینکه مقسوم‌علیه‌های تقسیم‌های زیر را به عدد صحیح تبدیل کنید، مقسوم و مقسوم‌علیه را در چه عددی ضرب می‌کنید؟ تقسیم‌های جدید را بنویسید.
🔴 $\text{۱۴.۲} \div \text{۰.۲۱}$
🔴 $\text{۱۷} \div \text{۰.۷}$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۵۶ ریاضی ششم
برای تبدیل یک تقسیم اعشاری به تقسیم صحیح، باید مقسوم‌علیه (عدد دوم) را به عدد صحیح تبدیل کنیم. برای این کار، مقسوم و مقسوم‌علیه را در **توان $\mathbf{۱۰}$ مناسب** ضرب می‌کنیم.
### ۱. تقسیم $\mathbf{۱۴.۲ \div ۰.۲۱}$
* **مقسوم‌علیه:** $athbf{۰.۲۱}$ ($ ext{۲}$ رقم اعشار دارد.)
* **عدد ضرب:** باید در $athbf{۱۰۰}$ ضرب کنیم.
| | مقسوم ($athbf{A}$) | مقسوم‌علیه ($athbf{B}$) | عدد ضرب ($athbf{K}$) | تقسیم جدید ($athbf{A \times K \div B \times K}$) |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $\text{۱۴.۲} \div \text{۰.۲۱}$ | $\text{۱۴.۲}$ | $\text{۰.۲۱}$ | $\mathbf{۱۰۰}$ | $\mathbf{۱۴۲۰ \div ۲۱}$ |
### ۲. تقسیم $\mathbf{۱۷ \div ۰.۷}$
* **مقسوم‌علیه:** $athbf{۰.۷}$ ($ ext{۱}$ رقم اعشار دارد.)
* **عدد ضرب:** باید در $athbf{۱۰}$ ضرب کنیم.
| | مقسوم ($athbf{A}$) | مقسوم‌علیه ($athbf{B}$) | عدد ضرب ($athbf{K}$) | تقسیم جدید ($athbf{A \times K \div B \times K}$) |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $\text{۱۷} \div \text{۰.۷}$ | $\text{۱۷}$ | $\text{۰.۷}$ | $\mathbf{۱۰}$ | $\mathbf{۱۷۰ \div ۷}$ |
**نکته:** خارج قسمت تقسیم‌های جدید با خارج قسمت تقسیم‌های اصلی **برابر** است.
